Полуклассические расчеты энергетических уровней и волновых функций гамильтоновых систем с одной и несколькими степенями свободы на основе метода классических и квантовых нормальных форм
И.Н. Беляева1, Н.И. Корсунов1, Н.А. Чеканов1, А.Н. Чеканов2
1 ФГАОУ ВО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»
2 ФГКОУ ВО «Белгородский юридический институт МВД России имени И.Д. Путилина»
DOI: 10.26456/pcascnn/2023.15.255
Краткое сообщение
Аннотация: В работе изложены две схемы последовательного построения классической нормальной формы и её квантового аналога для некоторых классов классических гамильтоновых систем. Для квантовых нормальных форм указан способ решения их задачи на собственные значения. На основе этих нормальных форм предложен полуклассический метод решения уравнений Шрёдингера для классических гамильтоновых систем при их квантовом рассмотрении. Предложенным методом были решены некоторые квантовые задачи и обнаружено, что этот метод дает очень точное предсказание для энергетических уровней. Однако эта точность в области существования классического хаоса ухудшается. Этим же полуклассическим методом решена квантовая задача для плоского атома водорода в однородном магнитном поле. Предложенный метод допускает проведение всех расчетов с применением современных компьютерных систем аналитических вычислений.
Ключевые слова: классическая нормальная форма, квантовый аналог нормальной формы, правило Вейля-Маккоя, уровни энергий, собственные функции, математическое моделирование
- Беляева Ирина Николаевна – к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры информатики, естественнонаучных дисциплин и методик преподавания, ФГАОУ ВО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»
- Корсунов Николай Иванович – д.т.н., профессор, профессор кафедры математического и программного обеспечения информационных систем, ФГАОУ ВО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»
- Чеканов Николай Александрович – д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования, ФГАОУ ВО «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»
- Чеканов Александр Николаевич – старший преподаватель кафедры обеспечения безопасности на объектах транспорта, ФГКОУ ВО «Белгородский юридический институт МВД России имени И.Д. Путилина»
Ссылка на статью:
Беляева, И.Н. Полуклассические расчеты энергетических уровней и волновых функций гамильтоновых систем с одной и несколькими степенями свободы на основе метода классических и квантовых нормальных форм / И.Н. Беляева, Н.И. Корсунов, Н.А. Чеканов, А.Н. Чеканов // Физико-химические аспекты изучения кластеров, наноструктур и наноматериалов. — 2023. — Вып. 15. — С. 255-263. DOI: 10.26456/pcascnn/2023.15.255.
Полный текст: загрузить PDF файл
Библиографический список:
1. Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных уравнений / В.И. Арнольд. – М.: Наука, 1978. – 304 с.
2. Дирак, П.А.М. К созданию квантовой теории поля: основные статьи 1925-1958 годов / П.А.М. Дирак; пер. с анг. и фр. под ред. Б.В. Медведева. – М.: Наука, 1990. – 368 с.
3. Джакалья, Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем / Г.Е.О. Джакалья; пер. с анг. под ред. А.П. Маркеева. – М.: Наука, 1979. – 320 с.
4. Гребеников, Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах / Е.А. Гребеников. – М.: Наука, 1986 – 256 с.
5. Маркеев, А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике / А.П. Маркеев. – М.: Наука, 1978. – 312 с.
6. Биркгофф, Дж.Д. Динамические системы / Дж.Д. Биркгофф. – Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. – 406 с.
7. Богачев, В.Е. MAPLE программа вычисления нормальной формы Биркгофа-Густавсона и независимых интегралов движения для гамильтоновой системы с произвольным числом степеней свободы / В.Е. Богачев, Н.А. Чеканов. Зарегистрировано в Отраслевом фонде алгоритмов и программ. – М.: ВНТИЦ, 2011. – №2011616109.
8. Basios, V. GITA: A REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonian / V. Basios, N.A. Chekanov, B.L. Markovski, V.A. Rostovtsev, S.I. Vinitsky // Computer Physics Communications. – 1995. – V. 90. I. 2-3.– P. 355-368. DOI: 10.1016/0010-4655(95)00080-Y.
9. Лихтенберг, А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман. – М.: Мир, 1984. –528 с.
10. Gustavson, F.G. On constructing formal integrals of a Hamiltonian systems near an equilibrium point / F.G. Gustavson // The Astronomical Journal. – 1966. – V.71. – № 8. – P. 670-686. DOI: 10.1086/110172.
11. Swimm, R.T. Semiclassical calculations of vibrational energy levels for nonseparable systems using Birkhoff-Gustavson normal form / R.T. Swimm, J.B. Delos // The Journal of Chemical Physics. – 1979. – V. 71. – I. 4. – P. 1706-1717. DOI: 10.1063/1.438521.
12. Banerjee, K. General anharmonic oscillators / K. Banerjee // Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences. – 1978. – V. 364. – I. 1717. – P. 265-275. DOI: 10.1098/rspa.1978.0200.