Физико-химические аспекты изучения кластеров, наноструктур и наноматериалов
Основан в 2009 году


Решения некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в виде степенных рядов

И.Н. Беляева1, И.К. Кириченко2, Н.Н. Чеканова3,4

1 «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»
2 Харьковский национальный автодорожный университет
3 Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина
4 Харьковский учебно-научный институт «Каразинская школа бизнеса»

DOI: 10.26456/pcascnn/2022.14.284

Краткое сообщение

Аннотация: В текущей научной литературе самые различные нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения широко и успешно применяются для описания реальных процессов в различных областях естественных наук: в оптике, в теории упругости, молекулярной физике и др. К примеру, уравнения Ермакова и Риккати используют для решения квантового уравнения Шредингера, в электродинамике. Однако хорошо и надежно разработанных и общепринятых методов решения
нелинейных дифференциальных уравнений, к сожалению, не имеется. Кроме того, большинство уравнений Риккати не интегрируются даже в квадратурах. В настоящей работе для построения решений нелинейных уравнений Ермакова и Риккати предлагается использовать соответствующие
так называемые присоединенные линейные дифференциальные уравнения, решения последних находится в виде степенных рядов с помощью современных компьютерных систем аналитических
вычислений. Предложенным способом в настоящей работе вычислены решения для некоторых нелинейных уравнений Ермакова и Риккати. Показано непосредственной подстановкой, что полученные решения в виде степенных рядов удовлетворяют рассмотренным нелинейным уравнениям Ермакова и Риккати с известной точностью. Для описания химических и физических свойств наноструктур на квантовом уровне могут быть использованы решения нелинейных уравнений Ермакова и Риккати. Решения нелинейных уравнений Ермакова и Риккати могут успешно применяться при решении стационарных и времени-зависящих уравнений Шредингера.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнение Ермакова, уравнение Риккати, математическое моделирование, степенные ряды, компьютерная система Maple

  • Беляева Ирина Николаевна – к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедры информатики, естественнонаучных дисциплин и методик преподавания, «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»
  • Кириченко Игорь Константинович – д.ф.-м.н., профессор, профессор кафедры высшей математики, Харьковский национальный автодорожный университет
  • Чеканова Наталья Николаевна – к.ф.–м.н., доцент, Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина, доцент кафедры информационных технологий и математического моделирования Харьковский учебно-научный институт «Каразинская школа бизнеса»

Ссылка на статью:

Беляева, И.Н. Решения некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в виде степенных рядов / И.Н. Беляева, И.К. Кириченко, Н.Н. Чеканова // Физико-химические аспекты изучения кластеров, наноструктур и наноматериалов. — 2022. — Вып. 14. — С. 284-291. DOI: 10.26456/pcascnn/2022.14.284.

Полный текст: загрузить PDF файл

Библиографический список:

1. Карилло, С. Уравнения Ермакова-Пинни и Эмдена-Фаулера: новые решения на основе преобразований Беклунда нового типа / С. Карилло, Ф. Зулло // Теоретическая и математическая физика. – 2018. – V. 196. – № 3 . – С. 373-389. DOI: 10.4213/tmf9508.
2. Schuch, D. Riccati and Ermakov equations in time-dependent and time-independent quantum systems / D. Schuch // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. – 2008. – V. 4. – Art. № 043. – 16 p. – 16 p. DOI: 10.3842/SIGMA.2008.043.
3. Ермаков, В.П. Дифференциальные уравнения второго порядка. Условия интегрируемости в конечном виде / В.П. Ермаков // Университетские известия. Киев. – 1880. – № 9. – P. 1-25.
4. Зайцев, В.Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.
5. Husimi, K. Miscellanea in elementary quantum mechanics, II / K. Husimi // Progress of Theoretical Physics. – 1953. – V. 9. – № 4. – P. 381-402. DOI: 10.1143/ptp/9.4.381.
6. Соловьев, Е.А. Уравнение Милна и высшие порядки ВКБ приближения / Е.А. Соловьев // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. – 1984. – Т. 39. – Вып. 2. – С. 84-86.
7. Milne, W.E. The numerical determination of characteristic numbers / W.E. Milne // Physical Review. – 1930. – V. 35. – I. 7. – P. 863-867. DOI: 10.1103/PhysRev.35.863.
8. Korsch, H.J. Milne’s differential equation and numerical solutions of the Shrodinger equation I. Bound-state energies for single- and double-minimum potentials / H.J. Korsch, H. Laurent // Journal of Physics B: Atomic and Molecular Physics. – 1981. – V. 14. – № 22. – P. 4213-4230. DOI: 10.1088/0022-3700/14/22/008.
9. Hansen, R.M. Ermakov-Pinney equation in scalar field cosmologies / R.M. Hansen, J.E. Lidsey // Physical Review D. – 2002. – V. 66. – I. 2. – P. 023523-1-023523-8. DOI: 10.1103/PhysRevD.66.023523.
10. Pinney, E. The nonlinear differential equation y´´+p(x)y+cy-3=0 / E. Pinney // Proceedings of the American Mathematical Society. – 1950. – V. 1. – № 5. – P. 581. DOI: 10.1090/S0002-9939-1950-0037979-4.
11. Беркович, Л.М. Некоторые замечания о дифференциальных уравнениях вида y´´+a(x)y = f(x)yα / Л.М. Беркович, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. – 1972. – Т. 8. – № 11. – С. 2076-2079.
12. Гурса, Э. Курс математического анализа. Дифференциальные уравнения / Э. Гурса. – М.-Л.: ГТТИ, 1933. – Т. 2. – Ч. 2. – 287 c.
13. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. – 2-е изд., перераб. – М.: Высшая школа, 1963. – 546 с.
14. Беляева, И.Н. Построение общего решения дифференциальных уравнений фуксовского типа в виде степенных рядов / И.Н. Беляева, Ю.А. Уколов, Н.А. Чеканов. Зарегистрировано в Отраслевом фонде алгоритмов и программ. – М.: ВНТИЦ, 2005. – № 50200500089.
15. Belyaeva, I.N. Integrating linear ordinary fourth-order differential equations in the MAPLE programming environment / I Belyaeva, I. Kirichenko, O. Ptashny, N. Chekanova, T. Yarkho // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. – 2021. – № 3/4 (111). – P. 51-57. DOI: 10.15587/1729-4061.2021.233944.
16. Belyaeva, I.N. Computer calculation of Green functions for third-order ordinary differential equations / I.N. Belyaeva, N.A. Chekanov, L.V. Krasovskaya, N.N. Chekanova // Journal of Mathematical Sciences. – 2021. – V. 259. – I. 3. – P. 265-271. DOI: 10.1007/s10958-021-05615-9.

⇐ Предыдущая статья | Содержание | Следующая статья ⇒